Aktifitas Pembelajaran Matematika: Bilangan : 11…1, 99…9 dan 100…01 yang Spesial

Sisi lain Matematika, dengan bilangan 1111…11 (angka 1 berulang) dapat mencoba mencari beberapa hal yang ada hubungannya dengan 111…11, bilangan 999…99 dan juga dengan 1000…01 (angka 0 berulang)

Sebelumnya, kita singgung mengenai 15873. Ada apa dengan bilangan itu?

“15873” kalikan bilangan tersebut dengan bilangan asli kelipatan 7. Tapi jangan besar-besar maksimal 100 saja. Lihat hasilnya”

15873*7=111111

15873*14=222222

15873*21=333333

15873*28=444444

15873*35=555555

15873*42=666666

15873*49=777777

15873*56=888888

15873*63=999999

Sekilas terlihat bahwa bilangan 15873 seperti sangat menarik. Istimewa , padahal sebenarnya ya biasa saja. Kebetulan saja bilangan 15873 adalah faktor dari 111111. Kita disuruh mengalikan dengan bilangan kelipatan 7. Mengapa kelipatan 7?

Karena seperti ini :

15873 jika kita kalikan dengan kelipatan 7, misalkan saja 7k, maka hasilnya adalah sebagai berikut :

15873 x 7k =111111k

Tentu saja k di sini adalah bilangan asli. Maka, hasilnya pun, adalah bilangan dengan angka-angka yang kembar/sama.

15873*7*1=111111

15873*7*2=111111*2=222222

15873*7*3=111111*3=333333

15873*7*4=111111*4=444444

Bagaimana? 15873 saja kebetulan merupakan faktor dari 111111

Kalau kita mau menggunakan 8547 juga bisa.. tetapi dikalikan dengan kelipatan 13. Atau menggunakan 5291 dikalikan dengan kelipatan 21. Dan faktor-faktor dari 111111 yang lain.

Bisa juga pembaca kembangkan untuk bilangan yang lain, misalnya 1111111111 atau 9999999999 atau 10000001 dan lain sebagainya.

Oleh karena itu, dari data-data hasil pencarian, yaitu faktor-faktor dari bilangan-bilangan yang sepertinya menarik, sebagai berikut : .. :

Faktor-faktor dari beberapa bilangan :

Bilangan	Faktor-faktornya
111	1, 3, 37, 111
1111	1, 11, 101, 1111
11111	1, 41, 271, 11111
111111	1, 3, 7, 11, 13, 21, 33, 37, 39, 77, 91, 111, 143, 231, 259, 273, 407, 429, 481, 777, 1001, 1221, 1443, 2849, 3003, 3367, 5291, 8547, 10101, 15873, 37037, 111111
1111111	1, 239, 4649, 1111111
11111111	1, 11, 73, 101, 137, 803, 1111, 1507, 7373, 10001, 13837, 81103, 110011, 152207, 1010101, 11111111
111111111	1, 3, 9, 37, 111, 333, 333667, 1001001, 3003003, 12345679, 37037037, 111111111
1111111111	1, 11, 41, 271, 451, 2981, 9091, 11111, 100001, 122221, 372731, 2463661, 4100041, 27100271, 101010101, 1111111111

999	1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999
9999	1, 3, 9, 11, 33, 99, 101, 303, 909, 1111, 3333, 9999
99999	1, 3, 9, 41, 123, 271, 369, 813, 2439, 11111, 33333, 99999
999999	1, 3, 7, 9, 11, 13, 21, 27, 33, 37, 39, 63, 77, 91, 99, 111, 117, 143, 189, 231, 259, 273, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 693, 777, 819, 999, 1001, 1221, 1287, 1443, 2079, 2331, 2457, 2849, 3003, 3367, 3663, 3861, 4329, 5291, 6993, 8547, 9009, 10101, 10989, 12987, 15873, 25641, 27027, 30303, 37037, 47619, 76923, 90909, 111111, 142857, 333333, 999999
9999999	1, 3, 9, 239, 717, 2151, 4649, 13947, 41841, 1111111, 3333333, 9999999
99999999	1, 3, 9, 11, 33, 73, 99, 101, 137, 219, 303, 411, 657, 803, 909, 1111, 1233, 1507, 2409, 3333, 4521, 7227, 7373, 9999, 10001, 13563, 13837, 22119, 30003, 41511, 66357, 81103, 90009, 110011, 124533, 152207, 243309, 330033, 456621, 729927, 990099, 1010101, 1369863, 3030303, 9090909, 11111111, 33333333, 99999999
999999999	1, 3, 9, 27, 37, 81, 111, 333, 999, 2997, 333667, 1001001, 3003003, 9009009, 12345679, 27027027, 37037037, 111111111, 333333333, 999999999

1001	1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001
10001	1, 73, 137, 10001
100001	1, 11, 9091, 100001
1000001	1, 101, 9901, 1000001
10000001	1, 11, 909091, 10000001
100000001	1, 17, 5882353, 100000001
1000000001	1, 7, 11, 13, 19, 77, 91, 133, 143, 209, 247, 1001, 1463, 1729, 2717, 19019, 52579, 368053, 578369, 683527, 999001, 4048583, 4784689, 6993007, 7518797, 10989011, 12987013, 52631579, 76923077, 90909091, 142857143, 1000000001

123	1, 3, 41, 123
1234	1, 2, 617, 1234
12345	1, 3, 5, 15, 823, 2469, 4115, 12345
123456	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 192, 643, 1286, 1929, 2572, 3858, 5144, 7716, 10288, 15432, 20576, 30864, 41152, 61728, 123456
1234567	1, 127, 9721, 1234567
12345678	1, 2, 3, 6, 9, 18, 47, 94, 141, 282, 423, 846, 14593, 29186, 43779, 87558, 131337, 262674, 685871, 1371742, 2057613, 4115226, 6172839, 12345678
123456789	1, 3, 9, 3607, 3803, 10821, 11409, 32463, 34227, 13717421, 41152263, 123456789

98	1, 2, 7, 14, 49, 98
987	1, 3, 7, 21, 47, 141, 329, 987
9876	1, 2, 3, 4, 6, 12, 823, 1646, 2469, 3292, 4938, 9876
98765	1, 5, 19753, 98765
987654	1, 2, 3, 6, 97, 194, 291, 582, 1697, 3394, 5091, 10182, 164609, 329218, 493827, 987654
9876543	1, 3, 227, 681, 14503, 43509, 3292181, 9876543
98765432	1, 2, 4, 8, 37, 74, 148, 296, 333667, 667334, 1334668, 2669336, 12345679, 24691358, 49382716, 98765432
987654321	1, 3, 9, 17, 51, 153, 289, 867, 2601, 379721, 1139163, 3417489, 6455257, 19365771, 58097313, 109739369, 329218107, 987654321

Apa yang dapat temukan di sini? Beberapa yang menarik adalah sebagai berikut :

v 12345679 adalah faktor dari 98765432

v 12345679 juga merupakan faktor dari 111111111 dan juga 999999999

v 9999 adalah bilangan palindrom yang faktor-faktornya juga merupakan bilangan palindrom.

v yaitu : 1, 3, 9, 11, 33, 99, 101, 303, 909, 1111, 3333, 9999

v Meskipun ini bukan salah satunya bilangan. Banyak juga bilangan yang seperti ini, misalnya 22, 44, 88, 101 dan juga masih banyak yang lain.

v 11 adalah faktor dari 1111, 111 adalah faktor dari 111111, 1111 adalah faktor dari 11111111, dan seterusnya. Ini bisa dibuktikan. Kapan-kapan saja kalau sempat dibuktikan dan dibahas lebih dalam.